¿Tiene sentido hablar de negaciones en plural?

Sigue sorprendiéndome cuando la gente usa términos lógicos fundamentales como “consecuencia lógica”, “negación”, “disyunción”, etc. en plural. Me cuesta trabajo entender qué quieren decir.

Mucho mas cuando se preguntan si X o Y operación (entre conjuntos de valores de verdad) o conectiva (definida por sus reglas de introducción o eliminación, o implícitamente por sus axiomas) o relación entre conjuntos de fórmulas, proposiciones o enunciados cae sobre la extensión de dichos términos plurales.

I

José Antonio Pardo me respondió que "en ciertos contextos es perfectamente inteligible hablar, digamos, de "negaciones": la intuicionista y la clásica" En otras palabras, si no he malentendido su comentario, Pardo propone como un buen ejemplo paradigmático de lo que pueden ser dos negaciones, a las negaciones intuicionista y clásica. Pero por el contrario, este ejemplo precisamente sirve para ilustrar lo oscuro de la noción misma. Después de todo, ni la intuicionista ni el clásico aceptarían que las suyas son dos negaciones distintas. Para ellas hay una sola negación y la otra no es otra negación, sino otra cosa – o bien algo que no existe o algo que no es una negación; por eso hay un debate entre ellos, un debate en el que no tiene sentido hablar de dos negaciones. Según la intuicionista, la teoría clásica de la negación es o bien una teoría equivocada de la negación (es decir, de la única negación que existe, la cual sí está caracterizada correctamente por la lógica intuicionista) o bien una teoría que no logra referirse a nada o se refiere a otro fenómeno distinto a la negación, y vice versa. Solo existe la negación y el debate es caracterizarla. Lo que le interesa tanto a la intuicionsita como al clásico son preguntas como ¿qué necesito para poder probar que algo no es el caso o qué se sigue de que algo no sea el caso. Por ejemplo, ¿qué se sigue lógicamente de que no haya raíces cuadradas positivas de enteros negativos? Lo que buscan es entender la negación (la cual se asume es una). Este proyecto lo entiendo, en parte, precisamente porque no habla de la negación en plural. Y lo mismo sucede, por ejemplo, en el caso del debate entre los planes Americano y Australiano.

II

Aun si dijéramos que lo que se quiere decir por negaciones en plural son posibles teorías de la negación, tampoco tendría mucho sentido la pregunta de qué necesita tener, por ejemplo, un operador para ser una negación en este sentido, ya que, en un sentido, no necesita nada, basta que alguien la proponga como teoría de la negación. Dentro del espacio de posibilidades, en sentido estricto, cualquier operación podría ofrecerse como candidata a ser la negación. Muchas de estas van a ser muy malas candidatas, pero aun así se podrían construir teorías lógicas en las que son la negación, pues lo que hace que lo sean no es sino la intención del teórico. 

    Tal vez entonces la pregunta debería ser ¿qué necesita tener un operador para ser una buena teoría de la negación? Pero tampoco entonces pueden haber mas de una negación, pues hay una única operación que captura bien el funcionamiento de la negación. Entonces otra vez, buena teoría de la negación solo puede haber una. A menos que pensemos que, desde el principio, planteamientos como los del lógico clásico y el intuicionista estaban equivocados pues no había tal cosa como una sola negación – la negación – que trataban de capturar. Discutiré esta posibilidad un poco mas adelante.

    En otras palabras, cuando un lógico propone que la negación se comporta de una manera dada u otra, lo que hace que el operador sea un buen candidato a ser la negación no es ninguna propiedad intrínseca de la operación misma, sino el argumento filosófico en el que se basa la propuesta de que dicha operación es la negación. Eso es lo que hacen los lógicos intuicionistas y también es lo que hacen los lógicos clásicos. Proponer una negación no es meramente presentar una operación como negación, sino presentar evidencia de que dicha operación es la negación. En el caso del debate entre lógicos clásicos e intuicionistas, esto involucra discusiones profundas sobre la naturaleza misma de la verdad, el pensamiento, la existencia, etc. no sólo sobre las propiedades formales de una operación o otra. 

    Queda entonces la posibilidad de usar el plural de, por ejemplo, "negación" para hablar de posibles teorías sobre la negación, con sus propias operaciones, lo suficientemente buenas como para seguir discutiéndolas actualmente. En este sentido, podemos decir que la negación clásica, la intuicionista y otras mas son negaciones, pero repito, no lo son por ninguna propiedad formal intrínsica.

    Un caso especial, señala Ricardo Arturo Nicolás Francisco en su tesis de doctorado, es el caso en el cual los datos con los que contamos para caracterizar, por ejemplo, a la negación subdeterminan nuestra teoría de la negación. En este caso, es posible que hayan diferentes teorías de la negación que, cada una, capture a la perfección los datos que tenemos sobre el comportamiento de dicho operador lógico, pero sin embargo, difieran unas de las otros en los puntos en los que los datos no nos dan suficientes razones en una dirección u otra. En este sentido, no habría razón suficiente, por lo tanto, para sostener que una y solo una de estas teorías caracteriza correctamente a la lógica. Pero nótese que eso no es suficiente para sostener que, por lo tanto, lo que se sigue es que hay muchas negaciones genuinas. El mismo fenómeno puede describirse por lo menos de dos maneras: o bien sí existe la negación en singular, pero no podemos caracterizarla con toda precisión porque no tenemos suficientes datos, o bien es posible que nuestros datos no correspondan a ningún fenómeno genuino sino a una serie de fenómenos indistinguibles en su manifestación.

    Hagamos una analogía. Supongamos que nos encontramos con una foto vieja de nuestra madre, vista de la cintura hacia arriba, vistiendo una blusa de flores. Supongamos además que nadie más recuerda cómo iba vestida ese día y que dicha foto es la única evidencia que tenemos de su aspecto en ese momento. La evidencia subdetermina nuestra teoría sobre cómo iba vestida. Podemos dar una teoría incompleta y decir simplemente que vestía una blusa floreada y mantenernos silentes respecto a si vestía, por ejemplo, falda o pantalón, cuál era su color y longitud, etc. O bien podríamos generar un gran número de hipótesis distintas, cada una completando la descripción de su vestimenta de manera consistente con la evidencia. De esta manera, tendríamos la teoría de que vestía falda larga, y la de que vestía falda corta, y la de que vestía pantalones cortos, y la de que vestía pantalones largos, etc. Estas teorías no generan nuevas madres, sino que todas ellas son buenas teorías sobre cómo podría haber estado vestida nuestra madre ese día. Al final de cuentas, sólo estaba vestida de una manera y, en ese sentido, la teoría correcta sigue siendo una, aunque no la conozcamos.

    Otra opción, por supuesto, es que la indeterminación no sea meramente epistémica, sino ontológica. Peor aun así, lo correcto no es que hay muchas negaciones determinadas, sino que hay una negación y que ésta es indeterminada. Si queremos seguir llamando a estas teorías negaciones, lo que queremos decir es que todas ellas son teorías aceptables de la negación en singular.

III

José Antonio Pardo ofrece otro ejemplo que él considera no controversial del uso de nombres de operadores en plural: las disyunciones inclusiva y exclusiva. Sin duda no tenemos problemas en usar el plural de "disyunción" para hablar de ellas. Pero en ese caso de lo que hablamos son de dos significados asociados a una misma palabra: el "o" en español. 

La pregunta de cómo se relaciona esta palabra con estos dos significados sí es sustancial para la ¿significa esto que "o" es ambigüa (lo cual es muy poco probable, en tanto el fenómeno es estable a través de varios lenguajes, pero no en todos) o es sensible al contexto? y si es así ¿cuál es  el elemento contextual que le permite cambiar entre un sentido? ¿o acaso uno de los dos sentidos corresponde a su contenido semántico, mientras que se necesita disparar un proceso pragmático para obtener la otra lectura? y si es así ¿cuál es ese proceso pragmático (¿una implicara escalar, por ejemplo?) y qué lo dispara? Todas estas preguntas son interesantes y complejas, pero ninguna de ellas me parece pertenecer al ámbito de la lógica. A lo más, podemos preguntarnos ¿qué tienen en común estas dos operaciones lógicas que sea natural usar la misma palabra para expresarlas? Pero entre más pragmática sea el proceso que vincula un sentido con el otro, más débil será la conexión entre ellos.

De la misma manera, podemos hablar de diferentes 'condicionales' para referirnos a las diferentes relaciones que expresamos con enunciados condicionales, es decir, aquellos en los que ocurren palabras como "si", "entonces", etc. Otra vez, estaríamos diciendo algo sustancial, pero sólo desde el punto de vista lingüístico, pero no desde el punto de vista lógico. Y así para cualquier otra operación asociada a una palabra o construcción sintáctica del lenguaje natural. Pero, supongo, esto no puede ser a lo que se refieren los lógicos que hablan de "negaciones", "conjunciones", etc. en plural.

IV

Por supuesto que tiene sentido también agrupar ciertas operaciones (o cualquier otro tipo de fenómeno lógico) con alguna propiedad relevante en común y usar un término común para hablar de ellas en conjunto. Puede ser, por ejemplo, útil para entender sus propiedades sintácticas o semánticas agrupar varios operadores unarios, llamarlos "negativos" (probablemente, porque incluyen a la negación) y distinguirlos de otros, llamados "positivos" u otros llamados "neutros". Si estas agrupaciones son teóricamente útiles efectivamente tendríamos un uso legítimo del plural "negativo". Pero la validez de dicha división dependerá por completo de su utilidad teórica, es decir, su utilidad para arrojar luz sobre algún fenómeno que sea genuinamente lógico.

En este sentido, el ejemplo mas obvio me parece ser el de los valores de verdad. Tiene sentido hablar de valores de verdad en plural porque nuestra mejor manera de entender y hacer teorías semánticas se basa en estudiar a los valores de verdad juntos y de manera análoga. 

Creo que algo de este tipo tratan de hacer Estrada y Nicolás Francisco cuando  hablan, no tanto de negaciones en plural, sino en operadores negativos, a la Omori y Wansing, donde una operación es negativa si está relacionada de alguna manera con la negación. No es de sorprender, por lo tanto, que cuando Omori y Wansing presentan esta clasificación advierten:

No hace falta decir que esta clasificación no pretende ser rigurosa, sino solo una clasificación aproximada. [This classification is, needless to say, not meant to be rigorous, but just a rough classification.] (Omori y Wansing 2017: 1030)

Esta opción tiene dos problemas importantes, como han señalado también los filósofos mexicanos: por un lado, depende de qué o cual sea la negación y, segundo, depende también demasiado en cual se la manera en que una operación deba relacionarse con la negación. No puede ser 'relacionarse de cualquier manera, sino tiene que ser de alguna manera determinada, pero no podemos saber si una manera determinada es la correcta o no si no sabemos antes a dónde queremos llegar, es decir, qué queremos encontrar al buscar, ya no cuales son las negaciones, conjunciones, disyunciones, etc. sino las operaciones (o proposiciones, o conceptos, etc.) negativos, conjuntivos, disyuntivos, etc.

V

Otra manera en la que también tiene todo el sentido del mundo hablar de "negaciones", "disyunciones", etc. en plural es cuando nos referimos a formulas, operaciones complejas, formas lógicas, proposiciones etc. cuyo operador principal es una negación, disyunción, etc. Así pues por supuesto que hay muchas negaciones: la negación de una disyunción es una negación, la negación de una conjunción es otra negación distinta, etc. 

En este sentido, por ejemplo, sería mas correcto decir que el trabajo de Ricardo Arturo Nicolás Francisco y Luis Estrada González lo que muestra es que la negación es un condicional, porque muestra lo útil de pensar a la negación como un condicional con un consecuente bottom.

VI

Pero he aprendido de Luis Estrada que es un error tratar de responder a, por ejemplo, la pregunta de si X o Y es una

Pero he aprendido de Luis Estrada que es un error tratar de responder a, por ejemplo, la pregunta de si X o Y es una negación sin desarrollar una teoría general sobre qué hace que dos cosas sean operadores del mismo tipo, es decir, sin proponer un mecanismo general que nos dijera no solo cuando un X es una negación, sino también cuando un Y es una disyunción o Z una conjunción, etc. Aunque esta teoría general puede tener criterios distintos para, por ejemplo, la conjunción que la implicación (si, por ejemplo, está de acuerdo con Liukaciewicz que estas dos operaciones son lógicas en distintos sentidos).