¿De qué sirve la negación?

En la lógica clásica es (relativamente) fácil definir y explicar qué es la negación. Sin embargo, una vez que estamos trabajando en lógicas clásicas, diferentes nociones que colapsan en un solo operador en la lógica clásica empiezan a divergir en más de un operador en otras lógicas. Diferentes funciones que cumple la negación clásica en la lógica clásica requieren diferentes operadores para cumplirse en otras lógicas.

1. La negación como teoría de valores de verdad

Por ejemplo, en lógica clásica, la negación invierte los valores de verdad. Esto le permite a la lógica clásica ser completamente simétrica entre verdad y falsedad. Sin ella, no podemos formular leyes simétricas fundamentales como las de De Morgan. En este sentido, la negación tiene la función de explicar la relación lógica entre los valores de verdad. Como he indicado en otras ocasiones, cualquier semántica filosófica debe justificar su selección de valores semánticos. Esto significa justificar cuales serán sus valores de verdad y cómo se relacionaran las expresiones de su lenguaje con ellas. Esto requiere explicar, entre otras cosas, cómo se relacionan los diferentes valores de verdad entre sí. En el caso de la lógica clásica y FDE, la negación cumple este propósito de manera sencilla. En este primer sentido, la negación es una teoría de los valores de verdad.

2. La negación como teoría de la falsedad

Nótese, entonces, que invertir y relacionar valores de verdad solo convergen en una misma noción si al hablar de invertir valores de verdad nos referimos a invertir ambos valores. Pero si permitimos la inversión de un solo valor, tendremos otros dos operadores negativos, aun dentro de la lógica bivalente clásica: las constantes de verdad (pues invierte la falsedad en verdad, aunque no invierta la verdad en falsedad) y la de falsedad (pues invierte la verdad en falsedad, aunque no invierta la falsedad en verdad). ¿Significa esto que estas dos constantes son ambas nuevas negaciones, aparte de la clásica? Intuitivamente, uno quisiera decir que solo la segunda es realmente negativa, mientras que la primera es, en realidad, positiva. Pero, ¿qué razón habría para hacer esta distinción? Además de la intuición de que hay una relación entre verdad y afirmación/falsedad y negación, ¿qué razón habría para pensar que hay un vínculo fuerte entre negación y falsedad? y, además, ¿qué razón habría para pensar que la constante de falsedad es, por lo tanto, mejor candidato a ser algún tipo de negación?

Me parece que esta intuición responde a una concepción muy natural de la negación como el acto de negar algo. Después de todo, es muy natural pensar que negar algo no es sino decir que es falso. En este sentido, es correcto negar algo sólo cuando es falso. En otras palabras la negación de una proposición es verdadera solo si dicha proposición es falsa. Bajo esta condición, tanto la negación clásica como la constante de falsedad serían negaciones, aun cuando solo la primera satisfacería la condición mas fuerte de ser verdadera solo cuando lo que niega es falso.

3. La negación como teoría de los límites de lo lógico

La otra función fundamental que cumple la negación dentro de la lógica clásica es la de ayudarnos a trazar los límites de lo lógico. Gracias a nociones como la de contradicción o incompatibilidad e inversamente con la de tautología podemos definir clara y rigurosamente donde terminan los límites de las relaciones lógicas, es decir, donde colapsan en trivialidad.

En lógica clásica, el mismo operador cumple ambas funciones, pero en lógicas mas complejas, es posible tener operadores que cumplan una función, pero no la otra.