Una defensa del axioma del infinito dentro del logicismo

Empecemos deteniéndonos a preguntar qué bases se pueden ofrecer para sostener que “la lógica no debería contener afirmaciones existenciales”. Aceptar el reto logicista es aceptar, por lo menos la posibilidad lógica de reducir los objetos matemáticos a objetos lógicos. Si se excluye de la definición de lógica la posibilidad de objetos lógicos, el proyecto logicista sería imposible también por definición. Siguiendo esta misma línea de razonamiento, el axioma del Infinito debe entenderse no como una afirmación existencial, sino, precisamente como el rechazo de cualquier límite lógico a la existencia. Si la lógica no puede decirnos cuantos objetos hay, las únicas posibilidades consistentes con este principio serían la afirmación de la existencia de un número infinito de objetos lógicos o de ninguno. En otras palabras, supongamos que existan tan solo un número finito k de objetos lógicos. Entonces, el enunciado (1) “Hay por lo menos k objetos” sería lógicamente verdadero (ya que su verdad estaría garantizada por la existencia de los k objetos lógicos, lo cual es un hecho lógico), mientras que el enunciado (2) “Hay por lo menos k+1 objetos”, aunque verdadero (bajo el supuesto de que hay por lo menos un objeto no-lógico), no sería lógicamente verdadero. Sin embargo, dado que (1) y (2) se encuentran al mismo nivel sintáctico, es decir, ambas son expresables en vocabulario lógico puro y por lo tanto, desde la perspectiva Russelliana, son enunciados de máxima generalidad, entonces uno no puede ser lógicamente verdadero (o falso) y el otro no.1 Dado que el argumento se puede repetir para cualquier k – es decir, se puede hacer una inducción completa sobre los números naturales2 –, nos quedan dos opciones: (a) o bien todos los enunciados de la forma “Hay por lo menos n objetos”, para cualquier n, pertenecen a la lógica (es decir, son lógicamente verdaderos o lógicamente falsos) o bien (b) ninguno de ellos le pertenece (es decir, serían verdaderos o falsos por razones extra-lógicas).

Sin embargo, dado que debe existir por lo menos un objeto lógico para que el proyecto logicista sea plausible, aceptar la opción (b) sería una petición de principio contra el logicismo. No queda otra opción sino aceptar (a), es decir, que todos los enunciados de la forma “Hay por lo menos n objetos”, para cualquier n, son lógicamente verdaderos o lógicamente falsos. Una vez reconocido esto, tenemos todos los elementos para reducir a un absurdo el supuesto de que existen tan solo un número finito k de objetos lógicos. Basta darse cuenta de que el enunciado (2) arriba mencionado, “Hay por lo menos k+1 objetos”, no puede ser ni lógicamente verdadero ni lógicamente falso. No puede ser lógicamente falso, porque entonces sería lógicamente verdadero que no existen los objetos no lógicos. Sin embargo, es un hecho (no lógico) que hay más objetos que los objetos lógicos. Por lo tanto, (2) no puede ser verdadero y, mucho menos, lógicamente verdadero. Por la misma razón, (2) tampoco puede ser lógicamente verdadero, ya que entonces sería lógicamente verdadero que sí los hay. Sin embargo, si (2) ha de ser lógicamente verdadero, su verdad debe estar garantizada por la existencia de objetos lógicos exclusivamente. En otras palabras, debería haber por lo menos k+1 objetos lógicos. Finalmente, esto contradice el supuesto de que tan solo hay k objetos lógicos, con lo que dicho supuesto queda reducido a un absurdo.

Concluyendo, cualquiera que crea en la existencia de objetos lógicos, debe aceptar la existencia de por lo menos un número infinito de ellos.

1. Por supuesto, el argumento podría quebrarse si (i) se rechaza el principio de que la lógica es formal, es decir, que las propiedades lógicas sobrevienen sobre propiedades sintácticas de (la forma lógica de) los enunciados o (ii) se encontrara una distinción sintáctica, y lógicamente relevante, entre (la forma lógica de) los enunciados “Hay por lo menos j objetos” para toda j menor o igual a k (el número de objetos lógicos), y “Hay por lo menos i objetos” para toda i mayor a k. Sin embargo, rechazar (i) sería radicalmente heterodoxo y no puedo imaginarme cómo podría lograrse (ii) de una manera no ad-hoc.

2. El presente argumento se puede extender para cualquier cardinalidad, baste sustituirse k+1 en (2) por otro cardinal l estrictamente mayor que k.