Dos Programas de Investigación en Filosofía de las Matemáticas

Hacer filosofía de las matemáticas es una tarea muy complejas y, muchas veces, es útil tener un esquema general que nos permita abordarla de una manera sistemática: nos diga por donde empezar y qué preguntas hacer. En filosofía de las matemáticas, el programa dominante consiste en tomar a la matemática como un dominio de conocimiento científico, similar y a la par de otros como la geografía, la biología o la economía. El conocimiento matemático no es distinto a ningún otro tipo de conocimiento y lo único que tiene de único, lo que lo hace específicamente matemático, no es sino su contenido: es decir, que es conocimiento de o sobre asuntos matemáticos. Si seguimos la concepción tradicional del conocimiento como la posesión confiable de representaciones fieles y útiles de hechos reales en el mundo, entonces el conocimiento matemático también debe consistir  en la posesión confiable de representaciones fieles y útiles – estoy pensando en teorías, representadas en forma de ecuaciones y otro tipo de fórmulas – de algún tipo de hechos reales en el mundo: hechos que involucran entidades, propiedades y relaciones matemáticas. Sabes matemáticas, entonces, es conocer que ciertas entidades matemáticas tienen, de hecho, ciertas propiedades o están relacionadas de cierta manera. Saber que la raíz cuadrada de 16 es 4 es, en este sentido, similar a saber que las llamas de los huevos son amarillos. En ambos casos, lo que decimos saber es verdadero porque corresponde con un hecho real en el mundo. La única diferencia es que el primero es sobre entidades abstractas, matemáticas, como los números, mientras que la segunda, es sobre huevos, que son entidades concretas. El resto de las diferencias que parecerían hacer al conocimiento matemático un conocimiento sui-generis –– su aprioricidad, universalidad, analitcidad, formalidad, irrevisibilidad, etc. – se derivan de esta simple diferencia, es decir, del hecho de que se tratan sobre hechos bastante sui-generis. La aplicación de las matemáticas, en este paradigma, no es distinta tampoco a la aplicación de otro tipo de conocimiento, como el conocimiento físico, o el económico, etc.

Este programa de investigación ha sido muy útil en la filosofía de las matemáticas porque, como veremos a todo lo largo del curso, nos presenta con preguntas y problemas muy bien definidos: el objetivo de la filosofía de las matemáticas es determinar de qué trata la matemática, es decir, qué son los hechos matemáticos que hacen verdaderas a las verdades matemáticas y que, en útil instancia, dan contenido al conocimiento matemático, explicar como las representaciones que de hecho usamos en la obtención del conocimiento matemático logran representarla de manera fiel y confiable, cómo dichas representaciones nos permiten obtener conocimiento sobre dichos hechos, dado el tipo de entes que somos y, en particular, dado el tipo de aparato cognitivo con el que contamos, y las maneras en que nos hemos organizado de manera histórica para construir dichos conocimientos. En este paradigma, el objetivo de las Matemáticas es el mismo (o del mismo tipo) que el del resto de las ciencias, es decir, describir, predecir y explicar la realidad.

Si bien este es el programa de investigación estándar en la filosofía de las matemáticas tradicional, no es único. En contraste, existe un segundo paradigma en el que el conocimiento matemático no es simplemente solo otro tipo de conocimiento, sobre otra parcela mas de la realidad, como lo son la física, la química o la historia, sino que es conocimiento en un sentido especial y propio (o que comparte solo con otros casos especiales como, tal vez, el de la lógica o el del lenguaje). En este paradigma, pese a también ser una ciencia, el objetivo de las Matemáticas no es el mismo (ni del mismo tipo) que el del resto de las ciencias. Mas que hablar de las ciencias en plural, es útil hablar de la ciencia en singular. El objetivo de la Ciencia sigue siendo describir, predecir y explicar la realidad (de una manera objetiva, clara, simple, etc), y como parte de la ciencia, la matemática debe contribuir a alcanzar este objetivo, pero eso no significa que la matemática deba tener, en sí misma, esos objetivos como propios. La Matemática es ciencia en tanto contribuye de manera sustancial (y algunos dirán imprescindible) a la ciencia (en singular). Pero los objetivos de un colectivo en colaboración, no son los objetivos de cada miembro del colectivo. Por ello, los objetivos de la ciencia en conjunto no son los objetivos propios de la matemática. 

Las Ciencias Materiales, como la historia, la física, la antropología, etc. y las Formales, como la matemática tienen papeles son distintos, pero complementarios. Sin matemáticas, muchas otras ciencias no podrían cumplir sus objetivos (explicar, describir, etc.). Pero el objetivo de las matemáticas no es explicar, describir, etc., sino explorar y estudiar las formas posibles de explicaciones, modelos, teorías etc. en ciencia. Pero ellas mismas, no predicen, describen ni explican nada. Si tienen contenido, es decir, si tratan sobre algo, no es sobre cierto tipo de hechos que pueden representar de manera mas o menos fiel, sino que tratan sobre maneras en que se pueden explicar las cosas, formas que las teorías pueden tomar, etc. Pero las maneras no son hechos, y las formas no son objetos tampoco.

Ejemplos famosos de posturas excepcionalistas de este tipo son las filosofías de las matemáticas de Wittgenstein o Carnap (y, a veces, cuando se pone Wittgensteineano, nuestro amigo Rayo).