conceptual

  En Política VII,4 Aristóteles ya defiende la tesis, correcta desde mi punto de vista, de que nociones como las de orden o proporcionalidad  en política no son distintas de las homófonas nociones de orden  y proporcionalidad en matemáticas. Si bien es cierto que no podemos decir que el orden, la proporcionalidad o la simetría  son buenas o malas en matemáticas , como bien señala Aristóteles en Metafísica XIII 1078a31-b5, cuando decimos que el orden o la proporcionalidad son buenas en política no estamos hablando de  orden o proporción en otro sentido al matemático . La razón es que la cantidad y la magnitud de las cosas es, algunas veces, políticamente relevante y en esos casos, la matemática se vuelve también relevante a la política.  Cuando esto sucede, Aristóteles habla de tó kalón , para contrastarlo con ágathón .  (Siglos después, lo mismo se dirá sobre la estadística, la cual es tanto una área de las matemáticas, como una herramienta muy valio...

Empecemos deteniéndonos a preguntar qué bases se pueden ofrecer para sostener que “la lógica no debería contener afirmaciones existenciales”. Aceptar el reto logicista es aceptar, por lo menos la posibilidad  lógica  de reducir los objetos matemáticos a objetos lógicos. Si se excluye de la definición de lógica la posibilidad de objetos lógicos, el proyecto logicista sería imposible también por definición. Siguiendo esta misma línea de razonamiento, el axioma del Infinito debe entenderse no como una afirmación existencial, sino, precisamente como el rechazo de cualquier límite  lógico  a la existencia. Si la lógica no puede decirnos  cuantos  objetos hay, las únicas posibilidades consistentes con este principio serían la afirmación de la existencia de un número infinito de objetos lógicos o de ninguno. En otras palabras, supongamos que existan tan solo un número finito  k  de objetos lógicos. Entonces, el enunciado (1) “Hay...

Hacer filosofía de las matemáticas es una tarea muy complejas y, muchas veces, es útil tener un esquema general que nos permita abordarla de una manera sistemática: nos diga por donde empezar y qué preguntas hacer. En filosofía de las matemáticas, el programa dominante consiste en tomar a la matemática como un dominio de conocimiento científico, similar y a la par de otros como la geografía, la biología o la economía. El conocimiento matemático no es distinto a ningún otro tipo de conocimiento y lo único que tiene de único, lo que lo hace específicamente matemático, no es sino su contenido: es decir, que es conocimiento de o sobre asuntos matemáticos. Si seguimos la concepción tradicional del conocimiento como la posesión confiable de representaciones fieles y útiles de hechos reales en el mundo, entonces el conocimiento matemático también debe consistir   en la posesión confiable de representaciones fieles y útiles – estoy pensando en teorías, representadas en forma de ecuacione...

  Toda epistemología realista de las matemáticas, es decir, toda epistemología que acepte que hay objetos matemáticos reales , es decir, independientes de nuestras prácticas históricas concretas, nuestras convenciones y/o aparato cognitivo, y que la disciplina que llamamos así se dedica a su estudio, enfrenta tres retos. Por un lado, (1) necesita explicar nuestro acceso epistémico a los objetos matemáticos, es decir, nuestra capacidad de tener pensamientos acerca de los objetos propios de las matemáticas. Este reto es igualmente difícil para racionalistas como para empiristas. En la tradición racionalista, este acceso epistémico se suele lograr apelando a algún tipo de intuición racional (Brown, Parsons, Gödel, etc.). Mientras que en la tradición empirista, lo mismo se logra a través de la postulación de un mecanismo, que podríamos llamar de abstracción en un sentido amplio, ya sea lógico (como el propuesto por logicistas y neo-logicistas), psicológico (como el propuesto por los ...

Algo que he aprendido de discutir el trabajo de Husserl con mi colega Luis Canela, y mas ahora que he leído y presentado su mas reciente libro, Ser y Calcular , es que l a fenomenología, como método y corriente filosófica, surge directamente de los intentos de Husserl por resolver los problemas centrales  de los fundamentos de la aritmética, pero uno no se da cuenta si no lee las primeras obras de Husserl. La gente en general, olvida que tanto la fenomenología como la filosofía analítica surgen de tratar de dar cuenta del conocimiento matemático (en un marco kantiano). Es por ello que, en el fondo, todos los problema fundamentales de la fenomenología y todos los problemas fundamentales de la filosofía analítica son problemas de filosofía de las matemáticas. Una de las cosas que mas me atraen de la filosofía de las matemáticas de Husserl es el lugar central que le da al cálculo aritmético (y lógico-axiomático también), algo que comparte con Wittgenstein. El tema del cálculo sigue s...

  Si parte de los objetivos centrales de la filosofía de las matemáticas es explicar qué hacemos cuando hacemos matemáticas como, de hecho, las hacemos (y no cómo podríamos, o deberíamos hacerlas), una de sus preguntas centrales es el de la fuente de la normatividad, es decir, ¿en qué se fundan las normas que seguimos para rechazar o aceptar un proceso como correcto o incorrecto? La respuesta por defecto siempre ha sido realista: las normas se fundan en su capacidad para permitirnos descubrir hechos matemáticos objetivos sobre entidades y propiedades genuinas que existen de manera independiente a las propias prácticas matemáticas, pero obviamente no es la única. Según Marco Panza, el problema central de la posición realista es que es falsa, pero mi me parece que una mejor manera de resumir su posición es señalando que su problema central es que no logran explicar lo que deben explicar: La existencia de estos hechos independientes, aun de ser correcta, no explica realmente esta no...

Principio general de la representación icónica : X es una buena representación de Y para un fin Z en tanto X hace manifiesto – es decir, que hace fácil que el usuario note – los aspectos del fenómeno Y que son relevantes – es decir, que es importante que el usuario note – para alcance el fin Z.  En consecuencia, una representación icónica puede ser deficiente por dos razones: (i) Ruido es cuando se hace manifiesto algo irrelevante – por ejemplo, si hacemos muy llamativa una parte o aspecto de la representación que no significa nada o, en un diagrama geométrico, usamos un ángulo recto para representar un ángulo que no tiene que ser recto. (ii) El inverso fenómeno al ruido es cuando no se hace manifesto algo relevante – por ejemplo, cuando en un diagrama geométrico se usa un ángulo que no parece ser recto cuando el que sea recto es importante para la validez de la prueba. Que algo sea manifesto en una representación (o en general en una situación dada), es decir, el que sea fáci...

No es exagerado decir que los defensores de la filosofía segunda no parecen tener una motivación mucho más fuerte que su actitud ética de modestia ante la realidad. A decir verdad, no es difícil reconstruir cualquiera de sus argumentos en la forma de un sermón que denuncia la soberbia del filósofo que piensa haber descubierto las leyes fundamentales de la realidad al margen del quehacer científico. Por otro lado, sin embargo, modestia no es exactamente el adjetivo que salta a la mente cuando uno piensa en la obra tardía de Wittgenstein, y sin embargo, la filosofía segunda explícitamente emana de ciertas posiciones meta-filosóficas del pensador austriaco (aunque, dado que estamos hablando de Wittgenstein, claramente no de todas, cf. Kenny 1990: 92-3 ), como cuando, en las Investigaciones Filosóficas , dice que la filosofía “también deja la matemática como está” (I §124). En particular, el anti-revisionismo toma de la meta-filosofía Wittgensteineana la idea de que a lo que mas po...

Tal y como lo entiende Husserl, el proyecto de fundamentación de la aritmética es explicar cómo es posible conocer (y de hecho conocemos) a los números y sus relaciones (aritméticas, las que sean que ellas sean). Husserl reconoce que sería ideal si tuviéramos un acceso intuitivo directo a las cantidades y a sus relaciones (de cual es mayor que cual, como se pueden dividir, etc.) y si bien podemos tener este acceso directo a algunas cantidades (las muy pequeñas) y a sus relaciones, pronto se vuelven demasiado grandes como para poder ser aprehendidas así. Por ello, hemos desarrollado herramientas simbólicas para extender nuestras capacidades cognitiva en esta dirección. Y digo ‘extender’ porque no es que a través de ellas hayamos trascendido por completo nuestras limitaciones, sino que mas bien las hemos extendido mas allá, aunque siguen limitándonos. Entre estas herramientas simbólicas, las mas poderosas han sido el sistema de cálculo que usa formulas numéricas en base (comúnmente ...

Al principio de su introducción al Manual de Oxford de Filosofía de la Lógica y la Matemática , el filósofo estadounidense Stewart Shapiro escribió: Desde un principio, la filosofía occidental ha tenido una fascinación por las matemáticas ... Hasta hace muy poco, casi todos los filósofos tenían conocimiento muy actualizado de matemáticas y le ponían seria atención dentro de su filosofía. From the beginning, Western philosophy has had a fascination with mathematics... Until very recently, just about every philosopher was aware of the state of mathematics and took it seriously for philosophical attention. (Stewart Shapiro 2005: 3) Lo que dice Shapiro puede ser cierto, pero no es claro qué moraleja debemos extraer de ello. Podemos concluir, por ejemplo, que durante mucho tiempo, la gente haciendo filosofía de las matemáticas no eran especialistas en filosofía de las matemáticas sino filósofos generales que también pensaban y escribían sobre matemáticas. Russell, Carna...

De hecho, cuando calculamos – incluyendo cuando hacemos derivaciones formales en lógica – lo que transformamos son inscripciones de símbolos. Comúnmente, esto significa añadir (y, algunas veces, eliminar) elementos a la representación. Las instrucciones del cálculo nos dicen cómo, a partir de lo que está inscrito – es decir, a partir de los elementos claramente identificables en la representación y su locación dentro de ellos – podemos añadir nuevos elementos y nos dice también dónde podemos ponerlos.   Dependiendo de lo que sea una inscripción es lo que podríamos hacer para transformarla. Si nuestra concepción de inscripción es simplemente una distribución de manchas en papel, nuestra concepción de lo que es transformar una inscripción estará constreñida por ésta. Por eso, argumenta Sorensen, en principio, transformar una inscripción significa poder cambiar cualquiera de sus características, siempre y cuando este cambio sea útil dentro del cálculo. Como ejemplo, p...

Según Kant, nuestro conocimiento geométrico, a diferencia del conocimiento aritmético y analítico, está basado en nuestra intuición espacial. Esta hipótesis puede ponerse a prueba desde diferentes perspectivas, como la histórico-filosófica. Desde esta perspectiva, la idea es que si nuestro conocimiento matemático efectivamente está basado en intuiciones espaciales debe haber algo en la manera como de hecho hacemos geometría en la que debe manifestarse cómo, de hecho, apelamos a dicha intuición espacial. Tradicionalmente se ha pensado que el lugar donde más claramente puede verse esto es en los diagramas de la geometría Euclideana. Si, de hecho, la manera en que apelamos a los diagramas en pruebas geométricas Euclideanas involucra intuición espacial, entonces es cierto que nuestro conocimiento geométrico está basado en ella. En años recientes, han aparecido muchas trabajos recientes en esta dirección (principalmente por parte de Kenneth Manders, Marco Panza y Danielle Macbeth) y el...

Seminario de Temas Selectos de Filosofía de las Matemáticas  Salón 7 del Instituto de Investigaciones Filosóficas Ciudad U niversitaria , Coyoacán, Ciudad de México, México El campo de las matemáticas siempre ha sido visto como un área extraordinaria del quehacer humano, sustancialmente diferente del resto de las ciencias y del resto de nuestras vidas. Entre los aspectos de las matemáticas que suelen considerarse como profundamente sui-generis están sus representaciones: su lenguaje, sus fórmulas y diagramas. En este curso  estudiaremos estas representaciones en sus aspectos semánticos y epistemológicos con el propósito de determinar qué tan efectivamente distintos son de otro tipos de representaciones, símbolos e imágenes. Para lograr esto, asumiremos una perspectiva relevantista y mostraremos como su concepción de la comunicación lingüística puede generalizarse a representaciones de este tipo. También compararemos detalladamente las representaciones matemáticas con...