conceptual

Hacer filosofía de las matemáticas es una tarea muy complejas y, muchas veces, es útil tener un esquema general que nos permita abordarla de una manera sistemática: nos diga por donde empezar y qué preguntas hacer. En filosofía de las matemáticas, el programa dominante consiste en tomar a la matemática como un dominio de conocimiento científico, similar y a la par de otros como la geografía, la biología o la economía. El conocimiento matemático no es distinto a ningún otro tipo de conocimiento y lo único que tiene de único, lo que lo hace específicamente matemático, no es sino su contenido: es decir, que es conocimiento de o sobre asuntos matemáticos. Si seguimos la concepción tradicional del conocimiento como la posesión confiable de representaciones fieles y útiles de hechos reales en el mundo, entonces el conocimiento matemático también debe consistir   en la posesión confiable de representaciones fieles y útiles – estoy pensando en teorías, representadas en forma de ecuacione...

  Toda epistemología realista de las matemáticas, es decir, toda epistemología que acepte que hay objetos matemáticos reales , es decir, independientes de nuestras prácticas históricas concretas, nuestras convenciones y/o aparato cognitivo, y que la disciplina que llamamos así se dedica a su estudio, enfrenta tres retos. Por un lado, (1) necesita explicar nuestro acceso epistémico a los objetos matemáticos, es decir, nuestra capacidad de tener pensamientos acerca de los objetos propios de las matemáticas. Este reto es igualmente difícil para racionalistas como para empiristas. En la tradición racionalista, este acceso epistémico se suele lograr apelando a algún tipo de intuición racional (Brown, Parsons, Gödel, etc.). Mientras que en la tradición empirista, lo mismo se logra a través de la postulación de un mecanismo, que podríamos llamar de abstracción en un sentido amplio, ya sea lógico (como el propuesto por logicistas y neo-logicistas), psicológico (como el propuesto por los ...

Se ha documentado que a lo largo de la historia, las apreciaciones estéticas han influido en el desarrollo de la ciencia en general, y de la matemática en particular. Esto es un tema de relevancia para la filosofía porque prima facie parece estar en tensión con la objetividad y racionalidad de la matemática (y de la ciencia): si se deja guíar por apreciaciones estéticas – que comúnmente se consideran subjetivas y no racionales – entonces la matemática como práctica, no es totalmente objetiva y racional. Hay lo que Juliet Floyd (2013) llama un “residuo” subjetivo y no racional. Además, la belleza no tiene una función justificadora: el que algo sea bello no te dice mucho acerca de si es verdadero o si es racional aceptarlo. ¿Qué otra función juega la belleza en la matemática, entonces? Consideremos la siguiente ecuación, la cual suele considerarse un ejemplo paradigmático de belleza en matemáticas:   e i π + 1 = 0 Este ejemplo sugiere casi inmediatamente una hipótesi...

Tal y como lo entiende Husserl, el proyecto de fundamentación de la aritmética es explicar cómo es posible conocer (y de hecho conocemos) a los números y sus relaciones (aritméticas, las que sean que ellas sean). Husserl reconoce que sería ideal si tuviéramos un acceso intuitivo directo a las cantidades y a sus relaciones (de cual es mayor que cual, como se pueden dividir, etc.) y si bien podemos tener este acceso directo a algunas cantidades (las muy pequeñas) y a sus relaciones, pronto se vuelven demasiado grandes como para poder ser aprehendidas así. Por ello, hemos desarrollado herramientas simbólicas para extender nuestras capacidades cognitiva en esta dirección. Y digo ‘extender’ porque no es que a través de ellas hayamos trascendido por completo nuestras limitaciones, sino que mas bien las hemos extendido mas allá, aunque siguen limitándonos. Entre estas herramientas simbólicas, las mas poderosas han sido el sistema de cálculo que usa formulas numéricas en base (comúnmente ...

Al principio de su introducción al Manual de Oxford de Filosofía de la Lógica y la Matemática , el filósofo estadounidense Stewart Shapiro escribió: Desde un principio, la filosofía occidental ha tenido una fascinación por las matemáticas ... Hasta hace muy poco, casi todos los filósofos tenían conocimiento muy actualizado de matemáticas y le ponían seria atención dentro de su filosofía. From the beginning, Western philosophy has had a fascination with mathematics... Until very recently, just about every philosopher was aware of the state of mathematics and took it seriously for philosophical attention. (Stewart Shapiro 2005: 3) Lo que dice Shapiro puede ser cierto, pero no es claro qué moraleja debemos extraer de ello. Podemos concluir, por ejemplo, que durante mucho tiempo, la gente haciendo filosofía de las matemáticas no eran especialistas en filosofía de las matemáticas sino filósofos generales que también pensaban y escribían sobre matemáticas. Russell, Carna...

Cuando uno hace estudio de la representación científica, y se pregunta qué diferencia hace usar una representación en vez de otro, comúnmente nos guíamos por cinco preguntas: ¿Qué aspectos del fenómeno [target] nos permite ver claramente, es decir, qué aspectos del fenómeno hacen sobresalir y cuales esconden (o hasta desaparecen de la representación)? Ésta, por ejemplo, es la pregunta central para filósofos como Catherine Elgin y, en general, casi todos los que se acercan a la representación científica desde la perspectiva de la abstracción. ¿Qué tan fácil es manejar la representación? Por ejemplo, en el estudio de notaciones matemáticas es común preguntarse qué tan fácil es calcular con diferentes tipos de notaciones. A fin de cuentas, casi nunca observamos las representaciones de manera meramente pasiva, sino que las manipulamos para obtener lo que queremos. Por lo tanto, es relevante preguntarse qué tan fácil o difícil es este manejo. Esto implica desde preguntarse qué tan fáci...

Sigo anonadado por el concepto de pseudo-aleatoriedad en teoría de números. ¡Wow! Hacía mucho que una idea no me dejaba esa sensación de estar maravillado, no sólo por la existencia misma del fenómeno, sino por la ingenuidad de los matemáticos al haberla descubierto y usado para generar conjeturas útiles. La idea básica, por si – como yo hasta hace unos días – no saben de qué hablo es que existen ciertos fenómenos matemáticos, como los números primos, que (obviamente) no son aleatorios pero que, si asumimos que lo son, podemos preveer mucho de sus comportamiento de una manera que no hemos podido apelando a medios puramente deductivos. El fenómeno es fascinante desde el punto de vista filosófico porque pone de manifiesto el carácter racional y el valor de esa parte de las matemáticas que suele llamarse “empírica” pese a que, obviamente, no tiene nada que ver con percibir objetos o hechos matemáticos, sino con emplear técnicas no deductivas ni demostrativas dentro de una disciplina que ...

En español tenemos pares de palabras semánticamente relacionadas para ciertos números, por ejemplo, “díez” y “decena”, “dos” y “par”, "doce" y "docena", “cien” y “centena”, etc. Los segundos son nominales y por eso pueden ocurrir en singular y plural, mientras que los primeros no. Por ejemplo, existe la palabra “decenas”, el plural de “decena”, pero no hay plural de “díez”, es decir, no existe la palabra “dieces”. Esta diferencia tiene otras manifestaciones. Una de las más importantes es que las primeras componen los cardinales complejos, es decir, decimos “dos mil personas” y no “par mil personas” ni “dos miles personas”, aunque sí “un par de miles de personas”; y decimos "trescientos diez" y no "trescientos decena".  La hipótesis de Sabina Longhitano en el seminario es que, en el caso de “millón” y “mil” (y tal vez en otros) también existe la distinción pero las dos palabras son homónimas. Por eso decimos tanto “varios millones de personas” co...

Podemos identificar dos tipos de naturalismos en filosofía: Un naturalismo exacerbado y otro moderado. La primera noción de naturalismo la encontramos, por ejemplo, en el volumen editado por Steven Wagner y Richard Warner, Naturalism, A Critical Appraisal (1993). En su introducción, los editores escriben: We take naturalism to be the view that only natural science deserves full and unqualified credence. (Wagner y Warner 1993, 1. Énfasis mío) Es también esta noción de naturalismo la que aparece en The Oxford Companion to Philosophy (1995), editado por Ted Honderich, donde naturalismo se define como . . . the view that everything is natural, i.e. that everything there is belongs to the world of nature, and so can be studied by the methods appropriate for studying that world. (Honderich 1995, 604) Este naturalismo exacerbado se distingue por cuatro tesis radicales: Naturalismo (Ontológico): Todo es natural. No existen objetos ni sucesos fuera del ámbito de la natu...

(La forma de) El terreno que acabo de comprar en Tepetongo es un cuadrado. Necesariamente, la suma de los ángulos internos de un cuadrado es  igual a la de cuatro ángulos rectos. Por lo tanto, necesariamente, la suma de los ángulos internos del terreno que acabo de comprar en Tepetongo es igual a la de cuatro ángulos rectos. No es difícil ver que este argumento no es mas que un análogo geométrico de la famosa paradoja de la modalidad de re presentada por Quine en su  “Reference and modality” (1963, From a Logical Point of View (second ed.), C VIII, pp. 139–159. New York: Harper Torchbooks): surgen los mismos problemas, y las mismas soluciones propuestas para el caso de “el número de planetas del sistema solar” se aplican mutatis mutandi a “la forma del terreno que acabo de comprar en Tepetongo”. En general, parecería que el problema es endémico al lenguaje de las matemáticas aplicadas, es decir, surge cada vez que hablamos de cantidades, magnitudes, formas, etc. ...

Coextensividad Real El principio de Hume parece tener como consecuencia directa que si dos predicados abiertos P y Q son coextensivos, entonces hay tantos Ps como Qs y, por lo tanto, el número de Ps es el mismo que el número de Qs. Desafortunadamente, esto no es así, como ha defendido David Liebesman recientemente.  Considera los siguientes dos predicados [ejemplo mío, basado en los ejemplos de Liebesman]: Px = x es una naranja. Qx = x es una naranja entera. Dada la definición tradicional de coextensividad, P y Q son coextensivos (a decir verdad, son necesariamente coextensivos también): Toda naranja es una naranja entera y sólo las naranjas enteras son naranjas. Sin embargo, es claro que en mucha circunstancias, el número de naranjas no será el número de naranjas enteras. Por ejemplo, si tenemos tres naranjas y media en una canasta, el número de naranjas será tres y medio, y el número de naranjas enteras será tres. Coextensividad Tradic...