Coextensividad Real (sobre David Liebesman)

Coextensividad Real

El principio de Hume parece tener como consecuencia directa que si dos predicados abiertos P y Q son coextensivos, entonces hay tantos Ps como Qs y, por lo tanto, el número de Ps es el mismo que el número de Qs.

Desafortunadamente, esto no es así, como ha defendido David Liebesman recientemente. 

Considera los siguientes dos predicados [ejemplo mío, basado en los ejemplos de Liebesman]:

Px = x es una naranja.

Qx = x es una naranja entera.

Dada la definición tradicional de coextensividad, P y Q son coextensivos (a decir verdad, son necesariamente coextensivos también): Toda naranja es una naranja entera y sólo las naranjas enteras son naranjas. Sin embargo, es claro que en mucha circunstancias, el número de naranjas no será el número de naranjas enteras. Por ejemplo, si tenemos tres naranjas y media en una canasta, el número de naranjas será tres y medio, y el número de naranjas enteras será tres.

Coextensividad Tradicional: Dos predicados abiertos P y Q son coextensivos sii para todo objeto x, x es un P si y sólo si x es un Q.

Por supuesto, el principio de Hume no tiene problemas con contra-ejemplos tipo Liebesman, porque está circunscrito a números naturales. Es decir, el principio de Hume, lo que realmente tiene como consecuencia es:

Consecuencia Natural de Hume: si dos predicados abiertos P y Q son coextensivos, y el número de Ps y el número de Qs son naturales, entonces son el mismo número natural.

Esto sugiere una manera de extender la noción tradicional de coextensividad para cubrir contra-ejemplos como el que acabo de dar de las naranjas:

Coextensividad de Segundo Grado: Dos predicados abiertos P y Q son coextensivos de grado 2 sii para todo objeto x, x es la mitad de un P si y sólo si x es la mitad de un Q.

Es una consecuencia directa de la consecuencia de Hume, que si dos predicados son no sólo coextensivos, sino coextensivos de segundo grado, entonces se cumple el siguiente analogo de la consecuencia de Hume:

Consecuencia de Hume de Segundo Grado:  si dos predicados abiertos P y Q son, además de coextensivos, coextensivos de segundo grado, y el número de Ps y el número de Qs son J/2 y K/2 respectivamente, para números naturales J y K, entonces J y K son el mismo número natural.

Esto se puede generalizar para cualquier grado N:

Coextensividad de Grado N: Dos predicados abiertos P y Q son coextensivos de grado N sii para todo objeto x, x es un 1/N de un P si y sólo si x es un 1/N de un Q.

Consecuencia de Hume de Grado N:  si dos predicados abiertos P y Q son tales que, para toda M entre 1 y N,  P y Q son coextensivos de grado N, y el número de Ps y el número de Qs son J/N y K/N respectivamente, para números naturales J y K, entonces J y K son el mismo número natural. (Donde ser coextensivos de grado uno no es si no ser coextensivos en el sentido tradicional.)

Y por lo tanto, se puede generalizar para los números racionales:

Coextensividad Racional: Dos predicados abiertos P y Q son coextensivos racionales sii para todo número natural N, P y Q son coextensivos de grado N.

Consecuencia de Hume Racional: si dos predicados abiertos P y Q son racionalmente coextensivos, y el número de Ps y el número de Qs son racionales, entonces son el mismo número racional.

Sin embargo, ¿existe una noción de coextensividad análoga para número reales?:

Consecuencia de Hume Real: si dos predicados abiertos P y Q son coextensivos reales, y el número de Ps y el número de Qs son reales, entonces son el mismo número real.

Me atrevo a aventurar que sí, sería algo como:

Coextensividad Real: Dos predicados abiertos P y Q son realmente coextensivos sii para todo objeto x, x es una porción de P si y sólo si x es una porción de Q.

La diferencia de tipo entre los casos naturales y racionales por un lado, y los racionales por otro muestan, creo yo, cierta polisemia en la familia de expresiones “cantidad”, “cuántos”, “el número de”, etc. En particular, me parece que muestra que los dos tipos de números (racionales y naturales por un lado, reales por el otro) corresponden con la diferencia entre contar y medir. Cuando usamos números naturales o racionales, contamos; cuando usamos números reales, medimos.