Entidades Matemáticas Concretas

1. (La forma de) El terreno que acabo de comprar en Tepetongo es un cuadrado.
2. Necesariamente, la suma de los ángulos internos de un cuadrado es  igual a la de cuatro ángulos rectos.
3. Por lo tanto, necesariamente, la suma de los ángulos internos del terreno que acabo de comprar en Tepetongo es igual a la de cuatro ángulos rectos.

No es difícil ver que este argumento no es mas que un análogo geométrico de la famosa paradoja de la modalidad de re presentada por Quine en su  “Reference and modality” (1963, From a Logical Point of View (second ed.), C VIII, pp. 139–159. New York: Harper Torchbooks): surgen los mismos problemas, y las mismas soluciones propuestas para el caso de “el número de planetas del sistema solar” se aplican mutatis mutandi a “la forma del terreno que acabo de comprar en Tepetongo”. En general, parecería que el problema es endémico al lenguaje de las matemáticas aplicadas, es decir, surge cada vez que hablamos de cantidades, magnitudes, formas, etc.

En general, podemos clasificar las propuestas de solución al problema de Quine en dos tipos: adjetivales y nominales. Para las nominales, expresiones como “la forma del terreno que acabo de comprar en Tepetongo”, “el número de planteas del sistema solar” y similares son expresiones nominales. Las propuestas adjetivales, por el contrario, sostienen que esto no es así y que, contrariamente a lo que su forma gramatical superficial podría sugerir, enunciados como (1) predican una propiedad (la de tener una forma cuadrada o la de ser nueve en cantidad) de objetos concretos (como el terreno que acabo de comprar en Tepetongo o los planetas del sistema solar), mientras que las nominales sostienen que dichas expresiones sí son expresiones nominales. La mayoría de las posiciones nominales conciben a enunciados como (1) como genuinos enunciados de identidad de tal manera que la extensión (si no la intensión) de la expresión “la forma del terreno que acabo de comprar en Tepetongo” es efectivamente un cuadrado, es decir, un objeto geométrico. Sin embargo también hay quienes sostienen que la relación entre  las expresiones nominales que ocurren entre ellos no es de identidad, sino algo más débil, como similitud, isomorfismo, etc. o quienes sostienen que la otra expresión nominal debe leerse adjetivalmente (es decir, que “ser un cuadrado” no significa más que “ser cuadrado” dónde “cuadrado” es claramente un adjetivo).

Una notoria excepción a este patrón son los conjuntos cuyos miembros son entidades concretas. Por un lado, es posible formar con ellos una paradoja similar a la de Quine:

1. La más reciente adición a la lista de Patrimonio de la Humanidad de la UNESCO es el conjunto de la obra de Le Corbusier.
2. El estadio de Bagdad pertenece al conjunto de la obra de Le Corbusier.
3. Si a  es un elemento del conjunto C, entonces necesariamente a pertenece a C.
4. Por lo tanto, necesariamente el estadio de Bagdad pertenece a la más reciente adición a la lista de Patrimonio de la Humanidad de la UNESCO.

Sin embargo, en este caso, la lectura adjetival de enunciados como (5) es mucho menos intuitiva que la de enunciados como (1). Según ésta, “el conjunto de la obra de Le Corbusier” no sería una genuina expresión nominal, sino parte indisociable del predicado “es el conjunto de la obra de Le Corbusier”, lo cual suena extremadamente extraño, además de revisionista. 

Por otro lado, los defensores de la posición nominal también tienen problemas para asignar contenido a este tipo de expresiones ya que, a diferencia de “el número de planetas del sistema solar” o “la forma del terreno que..”, “el conjunto de la obra de Le Corbusier” no parece referir prima facie a ningún objeto matemático puro como el número nueve o un triángulo, sino a un objeto matemático mixto, a saber, el conjunto que tiene como miembros a la iglesia de Ronchamps, el estadio de Bagdad, la fabrica Duval en Vosges, etc.

Lo que no logro comprender es de dónde viene este, por lo menos aparente, diferencia entre el caso de los conjuntos y el de otros objetos matemáticos.