Símbolos y Notación Lógica
Tradicionalmente, en lógica solemos distinguir, por lo menos informalmente, entre un sistema formal y sus notaciones. Se dice, por ejemplo, que el cálculo proposicional polaco y el de Hilbert-Ackerman son sólo variantes notacionales del mismo cálculo, mientras que el cálculo proposicional clásico y el intuicionista no lo son, aun cuando puedan usar la misma notación. Sin embargo, durante mis reuniones con José Dehilario, hemos visto que dicha distinción es mucho más problemática.
Según Woleński 2015, la escuela de Varsovia señalaba que no debemos confundir la noción de símbolo en la definición estándar de sistema formal con la de carácter en nuestra notación. Idealmente, ha señalado también Goodman, a cada carácter le debería corresponder un símbolo y viceversa. Sin embargo, tradicionalmente no es así. Por ejemplo, en la caracterización que hace Mendelson de su sistema de cálculo proposicional L, él incluye a los paréntesis como símbolos independientes de los operadores. En otras palabras, aun cuando su sintaxis nos dice que paréntesis y operadores no pueden ocurrir (y por lo tanto, tampoco pueden ser interpretados) sino juntos, considera que son símbolos distintos. Así, la conjunción de dos proposiciones P y Q, por ejemplo, se simboliza por un compuesto de cinco símbolos –“(P&Q)”– lo cual no refleja fielmente la composición de la proposición así simbolizada. En realidad, no hay buenas razones por la cual no podríamos analizar la fórmula “(P&Q)” en tres símbolos: los dos símbolos “P” y “Q” correspondientes a los conyuntos y un sólo tercer símbolo “(…&…)” para la operación lógica de conjunción. En su lugar, confundimos los caracteres de nuestra notación con símbolos lógicos genuinos.
Jaako Hintikka, Jon Barwise y su servidor, entre otros, hemos señalado cómo otras propiedades de nuestro sistema de notación – por ejemplo, el que sus expresiones sean secuencias finitas – limitan la expresividad del sistema formal en que se usan, y al no hacerse explícitas hacen parecer como lógicas propiedades que en realidad no lo son. Por ejemplo, dado que por definición, las secuencias circulares de símbolos no son bien formadas, esto excluye la posibilidad de expresar formas lógicas circulares (que corresponderían a proposiciones con auto-referencia, las cuales sí existen en el lenguaje natural).
Por ello, es fundamental, por un lado, ser rigurosos a la hora de distinguir entre notación y sistema formal. Dejar claro qué reglas son notacionales y cuales son propiamente formales. Al hacerlo, nos daremos cuenta también de las íntimas relaciones que a veces se dan entre una y otra.
La distinción entre símbolo y carácter, por supuesto, no es propia de la lógica, sino que permea todas las disciplinas formales (como bien sabemos, por lo menos desde la controversia entre Russell y Newton (1928) alrededor del estructuralismo). Tomemos como ejemplo, el juego del dominó. Aunque no solemos pensar al dominó como un objeto formal, en realidad lo es (es decir., podemos específicar formalmente qué es una partida, cuándo se obedecen las reglas del juego, quién gana una partida, etc.). En el dominó no es difícil distinguir entre las reglas propias del juego y aquellas que mas bien gobiernan cómo solemos jugarlo (con objetos físicos en forma de paralelepípedo de cierto tamaño, sobre una mesa, etc.) Por ejemplo, la regla de que al jugar una ficha, ésta debe corresponder con alguno de los números abiertos en ese momento del partido es una regla genuina del dominó. Mientras que reglas como la de que las mulas de colocan perpendicularmente a la cadena de fichas sobre la mesa es mas bien una regla sobre la manera en que solemos usar objetos físicos para jugar el dominó. Claramente, podríamos jugar dominó (y jugar las mismas partidas que de hecho hemos jugando con fichas físicas) usando lápiz y papel y escribiendo secuencias de números en vez de colocar fichas sobre una mesa. En lógica formal, las reglas de primer tipo corresponden a los símbolos de nuestro sistema, mientras que las reglas que gobiernan nuestra notación son del segundo tipo.
Según Woleński 2015, la escuela de Varsovia señalaba que no debemos confundir la noción de símbolo en la definición estándar de sistema formal con la de carácter en nuestra notación. Idealmente, ha señalado también Goodman, a cada carácter le debería corresponder un símbolo y viceversa. Sin embargo, tradicionalmente no es así. Por ejemplo, en la caracterización que hace Mendelson de su sistema de cálculo proposicional L, él incluye a los paréntesis como símbolos independientes de los operadores. En otras palabras, aun cuando su sintaxis nos dice que paréntesis y operadores no pueden ocurrir (y por lo tanto, tampoco pueden ser interpretados) sino juntos, considera que son símbolos distintos. Así, la conjunción de dos proposiciones P y Q, por ejemplo, se simboliza por un compuesto de cinco símbolos –“(P&Q)”– lo cual no refleja fielmente la composición de la proposición así simbolizada. En realidad, no hay buenas razones por la cual no podríamos analizar la fórmula “(P&Q)” en tres símbolos: los dos símbolos “P” y “Q” correspondientes a los conyuntos y un sólo tercer símbolo “(…&…)” para la operación lógica de conjunción. En su lugar, confundimos los caracteres de nuestra notación con símbolos lógicos genuinos.
Jaako Hintikka, Jon Barwise y su servidor, entre otros, hemos señalado cómo otras propiedades de nuestro sistema de notación – por ejemplo, el que sus expresiones sean secuencias finitas – limitan la expresividad del sistema formal en que se usan, y al no hacerse explícitas hacen parecer como lógicas propiedades que en realidad no lo son. Por ejemplo, dado que por definición, las secuencias circulares de símbolos no son bien formadas, esto excluye la posibilidad de expresar formas lógicas circulares (que corresponderían a proposiciones con auto-referencia, las cuales sí existen en el lenguaje natural).
Por ello, es fundamental, por un lado, ser rigurosos a la hora de distinguir entre notación y sistema formal. Dejar claro qué reglas son notacionales y cuales son propiamente formales. Al hacerlo, nos daremos cuenta también de las íntimas relaciones que a veces se dan entre una y otra.
La distinción entre símbolo y carácter, por supuesto, no es propia de la lógica, sino que permea todas las disciplinas formales (como bien sabemos, por lo menos desde la controversia entre Russell y Newton (1928) alrededor del estructuralismo). Tomemos como ejemplo, el juego del dominó. Aunque no solemos pensar al dominó como un objeto formal, en realidad lo es (es decir., podemos específicar formalmente qué es una partida, cuándo se obedecen las reglas del juego, quién gana una partida, etc.). En el dominó no es difícil distinguir entre las reglas propias del juego y aquellas que mas bien gobiernan cómo solemos jugarlo (con objetos físicos en forma de paralelepípedo de cierto tamaño, sobre una mesa, etc.) Por ejemplo, la regla de que al jugar una ficha, ésta debe corresponder con alguno de los números abiertos en ese momento del partido es una regla genuina del dominó. Mientras que reglas como la de que las mulas de colocan perpendicularmente a la cadena de fichas sobre la mesa es mas bien una regla sobre la manera en que solemos usar objetos físicos para jugar el dominó. Claramente, podríamos jugar dominó (y jugar las mismas partidas que de hecho hemos jugando con fichas físicas) usando lápiz y papel y escribiendo secuencias de números en vez de colocar fichas sobre una mesa. En lógica formal, las reglas de primer tipo corresponden a los símbolos de nuestro sistema, mientras que las reglas que gobiernan nuestra notación son del segundo tipo.
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