¿Qué es la conmutatividad?

Las fórmulas son modelos científicos y esto tiene profundas consecuencias en filosofía de la lógica, y de su didáctica. Por ejemplo, ¿qué decimos cuando decimos que la conjunción es conmutativa? ¿Qué tipo de hecho es éste? Si uno piensa que lo que dice la conmutación sobre la conjunción es que lo que está a la derecha pudo haber estado a la izquierda, entonces parece ser una ley sobre las fórmulas y no sobre su contenido, en tanto son solamente la fórmulas las que tienen izquierda o derecha, las proposiciones, la información, los hechos, no tienen izquierda y derecha. En el hecho de que Juan es apuesto y simpático, no hay ningún sentido en el que el que sea apuesto esté a su izquierda y el que sea simpático está a la derecha. En el enunciado “Juan es apuesto y simpático”, ahí sí el predicado “apuesto” está a la izquierda y “simpático” está a la derecha. En la fórmula “P&Q”, ahí sí la “P” está a la izquierda del operador “&” y la “Q” a la derecha. 

Sin embargo, sería un error pensar así. A fin de cuentas, si decimos que, en las fórmulas conjuntivas lo que está a la derecha pudo haber estado a la izquierda, lo que estamos diciendo es que cuál formula esté a la izquierda y cuál a la izquierda no hace la menor diferencia, pero el que algo haga o no una diferencia no puede evaluarse sino en relación a un fin u objetivo. En este caso, el que no haga una diferencia significa que no hace una diferencia en el uso práctico que le damos a estas fórmulas. Pero esto es algo que no se debe solamente a cómo son las fórmulas sino también a cómo se relacionan con su contenido y por ello en realidad la conmutatividad sí nos dice algo sustancial sobre su contenido.

Pensar a las fórmulas como modelos nos permite darnos cuenta de que las fórmulas, como cualquier tipo de modelo, tiene características que no corresponden a nada en su contenido pero que no pueden dejar de tener por ser el tipo de objetos que son. Por ejemplo, si uso bolitas de unicel para representar planetas en un modelo del sistema solar, por ser bolitas de unicel tendrán una línea de rebaba en uno de sus diámetros, pero esta línea no corresponde, no representa, ninguna propiedad de los planetas que representan. De la misma manera, si uso fórmulas – es decir, secuencias de símbolos – para representar lo que fuera (no sólo proposiciones), entonces, a fuerzas, para todo par de símbolos, o todo par de sub-fórmulas, una va a estar a la izquierda y otra a la derecha. Esta es una propiedad inevitable de las fórmulas y como tal, por un lado, es un recurso que podemos explotar si le podemos encontrar una interpretación adecuada y, por el otro, es algo que puede dar pie a confusiones si no representa nada. Esto es muy útil si uno quiere representar relaciones que sean ellas mismas asimétricas como las funciones, las implicaciones, la relación de pertenencia, la de subconjunto, etc. La relación de pertenencia, por ejemplo, es una relación asimétrica que relaciona dos tipo de objetos muy distintos: conjuntos y sus elementos. En este sentido, que algo sea elemento de otra cosa no es lo mismo a que esta última sea elemento de la primera. El adoptar la convención de poner el símbolo que representa al elemento a la izquierda y el conjunto a la derecha, para poder distinguirlas, es muy útil (aunque nótese que pudimos haber adoptado la convención inversa). Desafortunadamente en el caso de la conjunción, también tenemos que poner la fórmula correspondiente a un conyunto a la izquierda y la fórmula correspondiente al otro conyunto a la derecha (en nuestra convención de escribir las fórmulas horizontalmente). Esto es inevitable, pero no significa nada porque no corresponde a ninguna diferencia lógica entre un conyunto en el otro. Es como la rebaba de las bolas de unicel, una parte inevitable (de las bolas de unicel) pero que no significa nada. Esto es exactamente lo que nos dice la conmutatividad de la conjunción. Nos dice que, para los objetivos de la formalización, podemos ignorar el orden de los conyuntos en las fórmulas, porque no corresponde con ninguna relación lógica análoga entre las proposiciones que simbolizan, pero esto – el que no haya una propiedad análoga en el caso de la conjunción – sí es un hecho lógico, sí es una propiedad lógica genuina y sustancial sobre la conjunción.

En otras palabras, este hecho de las formulas – el que el operador de conjunción sea conmutativo – también  corresponde a un hecho de las proposiciones (y, en particular, de la operación de conjunción que se expresa con ellas). El que fórmulas de este tipo, es decir, fórmulas donde la conjunción es conmutativa, sean útiles para hacer lógica, es decir, para estudiar relaciones lógicas, nos dice algo sobre el fenómeno lógico mismo que representan. En particular, nos dicen que, en toda conjunción, no hay diferencia lógica entre un conyunto u otro, es decir, que la relación de conjunción – la relación entre proposiciones misma, no el operador que usamos para representarla en nuestro lenguaje de fórmulas – es simétrica o extensional. Gottlöb Frege decía que usamos las fórmulas precisamente para mostrar propiedades estructurales de las proposiciones. En este sentido, la conmutatividad de los operadores muestra la simetría o extensionalidad de las operaciones que representan.

Pero nótese también que esto es un hecho sólo en contraste con la no-extensionalidad de otro operadores, como la implicación (material).

Por eso Raymundo Morado insistió hoy en no separar la sintaxis de la semántica y de la interpretación. Dijo:

Cuando a los alumnos principiantes de lógica les digo que la conjunción (material) es conmutativa “…estoy hablando de lógica combinatoria, estoy hablando de los operadores de Curry, pero no se los puedo decir, por lo menos no en ese momento…”