Nihilismo Lógico Generalizado

La estrategia nihilista que G Russell ilustra con su uso de los enunciados PREM y SOLO es generalizable a cualquier regla de inferencia normal:

Toda regla inferencial impone ciertas condiciones de aplicación a las variables proposicionales que ocurren en su formulación. Por ejemplo, una regla que contiene entre sus premisas a la siguiente fórmula (1) impone por lo menos las siguientes condiciones (i) - (vi) a su variable proposicional:

1.   ¬ ¬ P

(i) Ocurrir

(ii) Ocurrir negada

(iii) Ocurrir dóblemente negada

(iv) Ocurrir en alguna premisa

(v) Ocurrir negada en alguna premisa

(vi) Ocurrir dóblemente negada en alguna premisa

Todo patrón inferencial clásicamente válido no tiene contraejemplos, pero tiene lo que podemos llamar pseudo-contraejemplos, a saber, asignaciones inconsistentes de valores de verdad a sus variables que harían a las premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Por ejemplo, separación del condicional material aka Modus Ponens tiene el siguiente pseudo-contraejemplo:

P         v(P)=1
P⊃Q v(P)=0, v(Q)=0
-----
Q         v(Q)=0

Esta asignación de valores es inconsistente pues pide que P sea verdadera en la primera premisa y falsa en la segunda.

Podemos convertir fácilmente este pseudo-contraejemplo en más de un contraejemplo tipo Russell introduciendo constantes sensibles al contexto que podamos sustituir por la variable P  y se compartan de la manera adecuada. Para ello, es necesario introducir suficiente sensibilidad al contexto que permita que la interpretación en cuestión se vuelva aceptable. Luego, basta postular, para cada variable con asignaciones inconsistentes, una constante sensible al contexto que tenga los valores de verdad correspondientes a cada asignación de valor en las circunstancias correspondientes, es decir, en alguna de las condiciones codificadas en dicha ocurrencia (que no sea también una de las condiciones codificadas en alguna de las ocurrencias a las que la interpretación en cuestión haya asignado un valor de verdad diferente).

Por ejemplo, en la interpretación de arriba, la asignación de valores es consistente en el caso de Q, pero no de P. Es necesario, por lo tanto, postular una constante sensible al contexto que, al ocupar el lugar de P, tenga las asignaciones en cuestión, es decir, sea verdadera al ocurrir en la primera premisa y falsa en la segunda. Para ello, basta definir una constante sensible al contexto que sea verdadera en alguna de las condiciones codificadas en la primera premisa (que no esté codificada también en la segunda premisa) y falsa en alguna de las condiciones codificadas en la segunda (que no esté codificada también en la primera premisa). Por ejemplo, podemos definir una constante – llamémosle ANTISEP – que sea verdadera cuando ocurra sola y falsa cuando ocurre de antecedente de un condicional. Como P aparece sola en la primera premisa y no en la segunda, y además aparece falsa en la segunda y no en la primera, esta sensibilidad contextual satisface los requisitos anteriores.

Una vez que hemos definido la constante (o constantes) sensible al contexto, basta sustituirla por la variable correspondiente, y mantener las asignaciones de valor para el resto de las variables, para convertir el pseudo-contraejemplo en un contra-ejemplo genuino. Continuando con nuestro ejemplo, si sustituimos P por ANTISEP y mantenemos la asignación. de falso a Q, obtenemos el siguiente contra-ejemplo:

ANTISEP         v(ANTISEP)=1 porque P ocurre sola
ANTISEP ⊃Q         v(ANTISEP)=0 porque P ocurre negada, v(Q)=0
-----
Q                         v(Q)=0

Creo que es suficientemente evidente que la técnica es suficientemente general. 

Nótese que la estrategia es generalizable a asignaciones de verdad no clásica, basta cambiar de 'ser' verdadero a 'contener' verdad en las asignaciones de la sensibilidad contextual de la constante.

Sin embargo, no es absolutamente general ya que no funciona para reglas en las que todas las variables proposicionales ocurren a lo más una sola vez. Para ser más precisos, la condición que debe satisfacer una regla para ser susceptible de generar contraejemplos tipo Russell por esta técnica es que debe tener pseudo-contraejemplos en el sentido anteriormente definido, pero el que sea necesario que las variables ocurran más de una vez es un claro corolario.

Además, todas las constantes que se generan con la técnica de Russell son susceptibles a generar nuevas reglas válidas por una generalización de la técnica de Dicher. Por ejemplo, para ANTISEP tenemos: 

ANTISEP Por lo tanto, ANTISEP ⊃ Q

Por lo tanto, ANTISEP

Por lo tanto, ANTISEP⊃ Q

¬ (ANTISEP⊃ Q) Por lo tanto, Q

entre otras

En este caso, la técnica general no es mas compleja que la de la generación de contra-ejemplos. Basta convertir las condiciones de la constante sensible al contexto en enunciados cuya verdad (o falsedad) sea pragmáticamente necesaria (en el sentido que Kaplan da a enunciados como "Estoy aquí" que son verdaderos en cualquier contexto de emisión aunque no expresen semánticamente una proposición necesaria). Por ejemplo, dado que ANTISEP es verdadera cuando ocurre sola, el enunciado compuesto por la constante ANTSEP sola es pragmáticamente necesario; dado que ANTISEP es falsa cuando ocurre de antecedente de un condicional, el condicional ANTISEP⊃ Q también es pragmáticamente necesario para cualquier Q, mientras que su negación es necesariamente falsa.

Una vez que tenemos estos enunciados pragmáticamente necesarios, podemos componer muchas nuevas reglas de inferencia poniendo a las verdaderas en la conclusión y/o una o mas de las que son verdaderas en las premisas.

Como en estas nuevas reglas no ocurre ninguna variable proposicional mas de una vez, no son susceptibles a contra-ejemplos del tipo Russell.

Para formalizar este método general, lo más fácil es definir una pseudo-contradicción: basta definir una función valuación que, en vez de ir de variables a valores, vaya de ocurrencias a valores. Lo mas sencillo es convertir fórmulas en sustituciones no uniformes.

Sea Phi un secuente de fórmulas dado cualquiera, podemos definir recursivamente de manera sencilla su proyección Proy(Phi) como el secuente resultante de sustituir cada variable de Phi por una variable nueva. Luego, toda interpretación de Proy(Phi) es una pseudo-interpretación de Phi y, en particular, toda interpretación que hace a Proy(Phi) inválida en la semántica correspondiente – en el caso clásico, esto significa que hace a sus premisas verdaderas y su conclusión falsa – es un pseudo-contraejemplo de Phi.

La parte compleja es dar una definición rigurosa de la noción de condición. Mi intuición en este momento es que podemos hacer algo análogo a una abstracción lambda de tal manera que toda off se puede codificar como el conjunto de condiciones que impone a las variables proposicionales que ocurren en ella.