Epistemología de Las Matemáticas

 Toda epistemología realista de las matemáticas, es decir, toda epistemología que acepte que hay objetos matemáticos reales, es decir, independientes de nuestras prácticas históricas concretas, nuestras convenciones y/o aparato cognitivo, y que la disciplina que llamamos así se dedica a su estudio, enfrenta tres retos. Por un lado, (1) necesita explicar nuestro acceso epistémico a los objetos matemáticos, es decir, nuestra capacidad de tener pensamientos acerca de los objetos propios de las matemáticas. Este reto es igualmente difícil para racionalistas como para empiristas. En la tradición racionalista, este acceso epistémico se suele lograr apelando a algún tipo de intuición racional (Brown, Parsons, Gödel, etc.). Mientras que en la tradición empirista, lo mismo se logra a través de la postulación de un mecanismo, que podríamos llamar de abstracción en un sentido amplio, ya sea lógico (como el propuesto por logicistas y neo-logicistas), psicológico (como el propuesto por los intuicionistas) o ambos (como aparece, por ejemplo, en el estructuralismo de Stewart Shapiro). 

Una vez postulado el mecanismo, es necesario (2) garantizar que efectivamente nos de acceso epistémico a objetos matemáticos reales y existentes. En otras palabras, una vez que hemos postulado un mecanismo, ya sea de intuición o de abstracción, es necesario garantizar que lo abstraído en dicho proceso tenga contenido o haga referencia a objetos que realmente existen de manera independiente del mismo proceso. En este punto, es muy tentador adoptar una posición anti-realista y postular que el mismo proceso epistémico cree sus propios objetos, garantizando, al mismo tiempo, tanto su existencia como su disponibilidad epistémica. Tanto intuicionistas como Brouwer (para quien los objetos matemáticos son creaciones del pensamiento), como neo-logicistas como Chrispin Wright (1983) o Jody Azzouni (1994) (para quienes los objetos matemáticos son creados por el proceso lógico de abstracción (Rayo 2003)), comparten esta estrategia. Filósofxs de corte más radicalmente realista, sin embargo, demandan una garantía extra de la existencia objetiva e independiente de los objetos de dichos procesos epistémicos. 

Finalmente, necesitamos también (3) un metodología y una lógica que nos permita obtener conocimiento matemático a partir del acceso epistémico postulado en (1). En otras palabras, es necesario demostrar que el acceso epistémico obtenido en (i) captura la suficiente información sobre el objeto matemático como para derivar conocimiento genuino de él. Es necesario, por ejemplo, que la manera en que se nos presente el objeto matemático sea tal que podamos reconocer en él sus propiedades matemáticas relevantes. En otras palabras, debe garantizarse la confiabilidad de nuestro acceso epistémico a los objetos matemáticos. Establecer el puente entre la existencia objetiva de los referentes de nuestros conceptos matemáticos y la objetividad del conocimiento obtenido de ellos no es un asunto trivial. Una vez que tenemos acceso epistémico a objetos matemáticos abstractos y hemos garantizado su existencia objetiva, es fácil apelar a una metodología racionalista y una lógica puramente deductiva para enfrenta este reto. Este es el punto de menor contención dentro de la discusión epistemológica en filosofía de las matemáticas, ya que la respuesta de empiristas y racionalistas es esencialmente la misma, pese a que existe debate sobre exactamente qué lógica y qué metodología es la adecuada. En este sentido, es importante no confundir la existencia objetiva de los objetos matemáticos con la objetividad del conocimiento matemático. El compromiso con la primera es lo que caracteriza la posición realista, mientras que la segunda es la que necesita garantizarse con la respuesta a los tres retos recién dibujados.